Как решать кубические уравнения

В кубическом уравнении наивысшим показателем степени является 3, у такого уравнения 3 корня (решения) и оно имеет вид

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 {displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}

. Некоторые кубические уравнения не так просто решить, но если применить правильный метод (при хорошей теоретической подготовке), можно найти корни даже самого сложного кубического уравнения — для этого воспользуйтесь формулой для решения квадратного уравнения, найдите целые корни или вычислите дискриминант.

1
Выясните, есть ли в кубическом уравнении свободный член
d {displaystyle d}
. Кубическое уравнение имеет вид
a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
. Чтобы уравнение считалось кубическим, достаточно, чтобы в нем присутствовал только член
x 3 {displaystyle x^{3}}
(то есть других членов может вообще не быть).
- Если в уравнении есть свободный член
  $d {displaystyle d}$
  , воспользуйтесь другим методом.
- Если в уравнении
  $a = 0 {displaystyle a=0}$
  , оно не является кубическим.
2
Вынесите за скобки
x {displaystyle x}
. Так как в уравнении нет свободного члена, каждый член уравнения включает переменную
x {displaystyle x}
. Это означает, что один
x {displaystyle x}
можно вынести за скобки, чтобы упростить уравнение. Таким образом, уравнение запишется так:
x ( a x 2 + b x + c ) {displaystyle x(ax^{2}+bx+c)}
.
- Например, дано кубическое уравнение
  $3 x^{3} - 2 x^{2} + 14 x = 0 {displaystyle 3x^{3}-2x^{2}+14x=0}$
- Вынесите
  $x {displaystyle x}$
  за скобки и получите
  $x (3 x^{2} - 2 x + 14) = 0 {displaystyle x(3x^{2}-2x+14)=0}$
3
Разложите на множители (на произведение двух биномов) квадратное уравнение (если возможно). Многие квадратные уравнения вида
a x 2 + b x + c = 0 {displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
можно разложить на множители. Такое уравнение получится, если вынести
x {displaystyle x}
за скобки. В нашем примере:
- Вынесите за скобки
  $x {displaystyle x}$
  :
  $x (x^{2} + 5 x - 14) = 0 {displaystyle x(x^{2}+5x-14)=0}$
- Разложите на множители квадратное уравнение:
  $x (x + 7) (x - 2) = 0 {displaystyle x(x+7)(x-2)=0}$
- Каждый бином приравняйте к
  $0 {displaystyle 0}$
  . Корнями данного уравнения являются
  $x = 0, x = - 7, x = 2 {displaystyle x=0,x=-7,x=2}$
  .
4
Решите квадратное уравнение с помощью специальной формулы. Сделайте это, если квадратное уравнение нельзя разложить на множители. Чтобы найти два корня уравнения, значения коэффициентов
a {displaystyle a}
,
b {displaystyle b}
,
c {displaystyle c}
подставьте в формулу
− b ± b 2 − 4 a c 2 a {displaystyle {frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
.
- В нашем примере подставьте значения коэффициентов
  $a {displaystyle a}$
  ,
  $b {displaystyle b}$
  ,
  $c {displaystyle c}$
  (
  $3 {displaystyle 3}$
  ,
  $- 2 {displaystyle -2}$
  ,
  $14 {displaystyle 14}$
  ) в формулу:
  
  $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} {displaystyle {frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$
  
  $\frac{- (- 2) \pm \sqrt{((- 2)^{2} - 4 (3) (14)}}{2 (3)} {displaystyle {frac {-(-2)pm {sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}}$
  
  $\frac{2 \pm \sqrt{4 - (12) (14)}}{6} {displaystyle {frac {2pm {sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}}$
  
  $\frac{2 \pm \sqrt{(4 - 168}}{6} {displaystyle {frac {2pm {sqrt {(4-168}}}{6}}}$
  
  $\frac{2 \pm \sqrt{- 164}}{6} {displaystyle {frac {2pm {sqrt {-164}}}{6}}}$
- Первый корень:
  
  $\frac{2 + \sqrt{- 164}}{6} {displaystyle {frac {2+{sqrt {-164}}}{6}}}$
  
  $\frac{2 + 12, 8 i}{6} {displaystyle {frac {2+12,8i}{6}}}$
- Второй корень:
  
  $\frac{2 - 12, 8 i}{6} {displaystyle {frac {2-12,8i}{6}}}$
5
Используйте ноль и корни квадратного уравнения в качестве решений кубического уравнения. У квадратных уравнений два корня, а у кубических — три. Два решения вы уже нашли — это корни квадратного уравнения. Если же вы вынесли «х» за скобки, третьим решением будет
0 {displaystyle 0}
.
- Если вынести «х» за скобки, получится
  $x (a x^{2} + b x + c) = 0 {displaystyle x(ax^{2}+bx+c)=0}$
  , то есть два множителя:
  $x {displaystyle x}$
  и квадратное уравнение в скобках. Если любой из этих множителей равен
  $0 {displaystyle 0}$
  , все уравнение также равно
  $0 {displaystyle 0}$
  .
- Таким образом, два корня квадратного уравнения, являются решениями кубического уравнения. Третьим решением является
  $x = 0 {displaystyle x=0}$
  .
Реклама

1
Удостоверьтесь, что в кубическом уравнении есть свободный член
d {displaystyle d}
. Если в уравнении вида
a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
есть свободный член
d {displaystyle d}
(который не равен нулю), вынести «х» за скобки не получится. В данном случае воспользуйтесь методом, изложенным в этом разделе.
- Например, дано кубическое уравнение
  $2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x = - 6 {displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x=-6}$
  . Чтобы на правой стороне уравнения получить ноль, прибавьте
  $6 {displaystyle 6}$
  к обеим сторонам уравнения.
- Получится уравнение
  $2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6 = 0 {displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0}$
  . Так как
  $d = 6 {displaystyle d=6}$
  , методом, который изложен в первом разделе, воспользоваться не получится.
2
Выпишите множители коэффициента
a {displaystyle a}
и свободного члена
d {displaystyle d}
. То есть найдите множители числа при
x 3 {displaystyle x^{3}}
и числа перед знаком равенства. Напомним, что множителями числа являются числа, при перемножении которых получается это число.
- К примеру, чтобы получить число 6, нужно перемножить
  $6 \times 1 {displaystyle 6times 1}$
  и
  $2 \times 3 {displaystyle 2times 3}$
  . Таким образом, числа 1, 2, 3, 6 являются множителями числа 6.
- В нашем уравнении
  $a = 2 {displaystyle a=2}$
  и
  $d = 6 {displaystyle d=6}$
  . Множителями 2 являются 1 и 2. Множителями 6 являются числа 1, 2, 3 и 6.
3
Разделите каждый множитель
a {displaystyle a}
на каждый множитель
d {displaystyle d}
. В итоге получится множество дробей и несколько целых чисел; корнями кубического уравнения будет одно из целых чисел или отрицательное значение одного из целых чисел.
- В нашем примере разделите множители
  $a {displaystyle a}$
  (1 и 2) на множители
  $d {displaystyle d}$
  (1, 2, 3 и 6). Вы получите:
  $1 {displaystyle 1}$
  ,
  $\frac{1}{2} {displaystyle {frac {1}{2}}}$
  ,
  $\frac{1}{3} {displaystyle {frac {1}{3}}}$
  ,
  $\frac{1}{6} {displaystyle {frac {1}{6}}}$
  ,
  $2 {displaystyle 2}$
  и
  $\frac{2}{3} {displaystyle {frac {2}{3}}}$
  . Теперь в этот список добавьте отрицательные значения полученных дробей и чисел:
  $1 {displaystyle 1}$
  ,
  $- 1 {displaystyle -1}$
  ,
  $\frac{1}{2} {displaystyle {frac {1}{2}}}$
  ,
  $- \frac{1}{2} {displaystyle -{frac {1}{2}}}$
  ,
  $\frac{1}{3} {displaystyle {frac {1}{3}}}$
  ,
  $- \frac{1}{3} {displaystyle -{frac {1}{3}}}$
  ,
  $\frac{1}{6} {displaystyle {frac {1}{6}}}$
  ,
  $- \frac{1}{6} {displaystyle -{frac {1}{6}}}$
  ,
  $2 {displaystyle 2}$
  ,
  $- 2 {displaystyle -2}$
  ,
  $\frac{2}{3} {displaystyle {frac {2}{3}}}$
  и
  $- \frac{2}{3} {displaystyle -{frac {2}{3}}}$
  . Целыми корнями кубического уравнения являются какие-то числа из этого списка.
4
Подставьте целые числа в кубическое уравнение. Если при этом равенство соблюдается, подставленное число является корнем уравнения. Например, подставьте в уравнение
1 {displaystyle 1}
:
- $2 (1)^{3} + 9 (1)^{2} + 13 (1) + 6 {displaystyle 2(1)^{3}+9(1)^{2}+13(1)+6}$
  =
  $2 + 9 + 13 + 6 {displaystyle 2+9+13+6}$
  ≠ 0, то есть равенство не соблюдается. В данном случае подставьте следующее число.
- Подставьте
  $- 1 {displaystyle -1}$
  :
  $(- 2) + 9 + (- 13) + 6 {displaystyle (-2)+9+(-13)+6}$
  = 0. Таким образом,
  $- 1 {displaystyle -1}$
  является целым корнем уравнения.
5
Воспользуйтесь методом деления многочленов по схеме Горнера, чтобы быстрее найти корни уравнения. Сделайте это, если не хотите вручную подставлять числа в уравнение. В схеме Горнера целые числа делятся на значения коэффициентов уравнения
a {displaystyle a}
,
b {displaystyle b}
,
c {displaystyle c}
и
d {displaystyle d}
. Если числа делятся нацело (то есть остаток равен
0 {displaystyle 0}
), целое число является корнем уравнения.
- Схема Горнера заслуживает отдельной статьи, но далее приведен пример вычисления одного из корней нашего кубического уравнения с помощью этой схемы:
  
  -1 | 2 9 13 6
  
  __| -2-7-6
  
  __| 2 7 6 0
- Таким образом, остаток равен
  $0 {displaystyle 0}$
  , а
  $- 1 {displaystyle -1}$
  является одним из корней уравнения.
Реклама

1
Выпишите значения коэффициентов уравнения
a {displaystyle a}
,
b {displaystyle b}
,
c {displaystyle c}
и
d {displaystyle d}
. Рекомендуем заранее выписать значения указанных коэффициентов, чтобы в дальнейшем не запутаться.
- Например, дано уравнение
  $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 {displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1}$
  . Запишите
  $a = 1 {displaystyle a=1}$
  ,
  $b = - 3 {displaystyle b=-3}$
  ,
  $c = 3 {displaystyle c=3}$
  и
  $d = - 1 {displaystyle d=-1}$
  . Напомним, что если перед
  $x {displaystyle x}$
  нет числа, соответствующий коэффициент все-таки существует и равен
  $1 {displaystyle 1}$
  .
2
Вычислите нулевой дискриминант по специальной формуле. Чтобы решить кубическое уравнение с помощью дискриминанта, нужно произвести ряд непростых вычислений, но если правильно выполнять все действия, этот метод станет незаменимым для решения наиболее сложных кубических уравнений. Сначала вычислите
Δ 0 {displaystyle Delta _{0}}
(нулевой дискриминант) — это первая необходимая нам величина; для этого подставьте соответствующие значения в формулу
Δ 0 = b 2 − 3 a c {displaystyle Delta _{0}=b^{2}-3ac}
.
- Дискриминант — это число, которое характеризует корни полинома (например, дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле
  $b^{2} - 4 a c {displaystyle b^{2}-4ac}$
  ).
- В нашем уравнении:
  
  $b^{2} - 3 a c {displaystyle b^{2}-3ac}$
  
  $(- 3)^{2} - 3 (1) (3) {displaystyle (-3)^{2}-3(1)(3)}$
  
  $9 - 3 (1) (3) {displaystyle 9-3(1)(3)}$
  
  $9 - 9 = 0 = Δ_{0} {displaystyle 9-9=0=Delta _{0}}$
3
Вычислите первый дискриминант по формуле
Δ 1 = 2 b 3 − 9 a b c + 27 a 2 d {displaystyle Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d}
. Первый дискриминант
Δ 1 {displaystyle Delta _{1}}
— это вторая важная величина; чтобы ее вычислить, подставьте соответствующие значения в указанную формулу.
- В нашем уравнении:
  
  $2 (- 3)^{3} - 9 (1) (- 3) (3) + 27 (1)^{2} (- 1) {displaystyle 2(-3)^{3}-9(1)(-3)(3)+27(1)^{2}(-1)}$
  
  $2 (- 27) - 9 (- 9) + 27 (- 1) {displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)}$
  
  $- 54 + 81 - 27 {displaystyle -54+81-27}$
  
  $81 - 81 = 0 = Δ_{1} {displaystyle 81-81=0=Delta _{1}}$
4
Вычислите:
Δ = ( Δ 1 2 − 4 Δ 0 3 ) ÷ − 27 a 2 {displaystyle Delta =(Delta _{1}^{2}-4Delta _{0}^{3})div -27a^{2}}
. То есть найдите дискриминант кубического уравнения через полученные значения
Δ 0 {displaystyle Delta _{0}}
и
Δ 1 {displaystyle Delta _{1}}
. Если дискриминант кубического уравнения положительный, у уравнения три корня; если дискриминант равен нулю, у уравнения один или два корня; если же дискриминант отрицательный, у уравнения один корень.
- У кубического уравнения всегда есть хотя бы один корень, так как график этого уравнения пересекается с осью X как минимум в одной точке.
- В нашем уравнении
  $Δ_{0} {displaystyle Delta _{0}}$
  и
  $Δ_{1} {displaystyle Delta _{1}}$
  равны
  $0 {displaystyle 0}$
  , поэтому вы запросто вычислите
  $Δ {displaystyle Delta }$
  :
  
  $(Δ_{1}^{2} - 4 Δ_{0}^{3}) \div (- 27 a^{2}) {displaystyle (Delta _{1}^{2}-4Delta _{0}^{3})div (-27a^{2})}$
  
  $((0)^{2} - 4 (0)^{3}) \div (- 27 (1)^{2}) {displaystyle ((0)^{2}-4(0)^{3})div (-27(1)^{2})}$
  
  $0 - 0 \div 27 {displaystyle 0-0div 27}$
  
  $0 = Δ {displaystyle 0=Delta }$
  . Таким образом у нашего уравнения один или два корня.
5
Вычислите:
C = 3 ( Δ 1 2 − 4 Δ 0 3 + Δ 1 ) ÷ 2 {displaystyle C=^{3}{sqrt {left({sqrt {Delta _{1}^{2}-4Delta _{0}^{3}}}+Delta _{1}right)div 2}}}
.
C {displaystyle C}
— это последняя важная величина, которую нужно найти; с ее помощью вы вычислите корни уравнения. В указанную формулу подставьте значения
Δ 1 {displaystyle Delta _{1}}
и
Δ 0 {displaystyle Delta _{0}}
.
- В нашем уравнении:
  
  $3 \sqrt{\sqrt{(Δ_{1}^{2} - 4 Δ_{0}^{3}) + Δ_{1}} \div 2} {displaystyle ^{3}{sqrt {{sqrt {(Delta _{1}^{2}-4Delta _{0}^{3})+Delta _{1}}}div 2}}}$
  
  $3 \sqrt{\sqrt{(0^{2} - 4 (0)^{3}) + (0)} \div 2} {displaystyle ^{3}{sqrt {{sqrt {(0^{2}-4(0)^{3})+(0)}}div 2}}}$
  
  $3 \sqrt{\sqrt{(0 - 0) + 0} \div 2} {displaystyle ^{3}{sqrt {{sqrt {(0-0)+0}}div 2}}}$
  
  $0 = C {displaystyle 0=C}$
6
Найдите три корня уравнения. Сделайте это по формуле
− ( b + u n C + Δ 0 ÷ ( u n C ) ) ÷ 3 a {displaystyle -(b+u^{n}C+Delta _{0}div (u^{n}C))div 3a}
, где
u = ( − 1 + − 3 ) ÷ 2 {displaystyle u=(-1+{sqrt {-3}})div 2}
, а n равен 1, 2 или 3. Подставьте в эту формулу соответствующие значения — в итоге вы получите три корня уравнения.
- Вычислите значение по формуле при n = 1, 2 или 3, а затем проверьте ответ. Если при проверке ответа вы получили 0, данное значение является корнем уравнения.
- В нашем примере подставьте 1 в
  $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 {displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1}$
  и получите 0, то есть 1 — это один из корней уравнения.
Реклама