Не знаете, как работать с логарифмами? Не волнуйтесь! Это не так сложно. Логарифм определяется как показатель степени, то есть логарифмическое уравнение log_ax = y равносильно показательному уравнению a^y = x.

1. 1
   Разница между логарифмическим и показательным уравнениями. Если уравнение включает логарифм, то оно называется логарифмическим уравнением (например, log_ax = y). Логарифм обозначается через log. Если уравнение включает степень и ее показателем является переменная, то оно называется показательным уравнением.

   • Логарифмическое уравнение: log_ax = y
   • Показательное уравнение: a^y = x
2. 2
   Терминология. В логарифме log₂8 = 3 число 2 — это основание логарифма, число 8 — аргумент логарифма, число 3 — значение логарифма.
3. 3
   Разница между десятичными и натуральными логарифмами.

   • Десятичные логарифмы — это логарифмы с основанием 10 (например, log₁₀x). Логарифм, записанный в виде log x или lg x, — это десятичный логарифм.
   • Натуральные логарифмы — это логарифмы с основанием «е» (например, log_еx). «е» — это математическая константа (число Эйлера), равная пределу (1 + 1/n)ⁿ при n стремящимся к бесконечности. «е» примерно равна 2,72. Логарифм, записанный в виде ln x, – это натуральный логарифм.
   • Другие логарифмы. Логарифмы с основанием 2 называются двоичными (например, log₂x). Логарифмы с основанием 16 называются шестнадцатеричными (например, log₁₆x или log_#0fx). Логарифмы с основанием 64 настолько сложные, что подпадают под адаптивное управление по геометрической точности (ACG).
4. 4
   Свойства логарифмов. Свойства логарифмов применяются при решении логарифмических и показательных уравнений. Они верны только в тех случаях, когда и основание, и аргумент — положительные числа. Кроме того, основание не может быть равным 1 или 0. Свойства логарифмов приведены ниже (с примерами).

   • log_a(xy) = log_ax + log_ay
     
     Логарифм произведения двух аргументов «х» и «у» равен сумме логарифма «х» и логарифма «у» (аналогично, сумма логарифмов равна произведению их аргументов).

     Пример:
     
     log₂16 =
     
     log₂8*2 =
     
     log₂8 + log₂2

   • log_a(x/y) = log_ax — log_ay
     
     Логарифм частного двух аргументов «х» и «у» равен разности логарифма «х» и логарифма «у».

     Пример:
     
     log₂(5/3) =
     
     log₂5 — log₂3

   • log_a(x^r) = r*log_ax
     
     Показатель «r» аргумента «х» может быть вынесен за знак логарифма.

     Пример:
     
     log₂(6⁵)
     
     5*log₂6

   • log_a(1/x) = -log_ax
     
     Аргумент (1/x) = x^-1. И, согласно предыдущему свойству, (-1) можно вынести за знак логарифма.

     Пример:
     
     log₂(1/3) = -log₂3

   • log_aa = 1
     
     Если аргумент равен основанию, то такой логарифм равен 1 (то есть «а» в степени 1 равно «а»).

     Пример:
     
     log₂2 = 1

   • log_a1 = 0
     
     Если аргумент равен 1, то такой логарифм всегда равен 0 (то есть «а» в степени 0 равно 1).

     Пример:
     
     log₃1 =0

   • (log_bx/log_ba) = log_ax
     
     Это называется заменой основания логарифма. При делении двух логарифмов с одинаковым основанием получается один логарифм, у которого основание равно аргументу делителя, а аргумент равен аргументу делимого. Это легко запомнить так: аргумент нижнего логарифма идет вниз (становится основанием конечного логарифма), а аргумент верхнего логарифма идет вверх (становится аргументом конечного логарифма).

     Пример:
     
     log₂5 = (log 5/log 2)

5. 5
   Попрактикуйтесь в решении уравнений.

   • 4x*log2 = log8 — разделите обе стороны уравнения на log2.
   • 4x = (log8/log2) — воспользуйтесь заменой основания логарифма.
   • 4x = log₂8 — вычислите значение логарифма.
   • 4x = 3 — разделите обе стороны уравнения на 4.
   • x = 3/4 — это окончательный ответ.
   Реклама